동요 '앞으로'에는 '지구는 둥그니까 자꾸 걸어나가면 온 세상 어린이를 다 만나고 오겠네'라는 가사가 있습니다. 이 노래는 지구가 평평한 것이 아니라 둥글다는 것을 이야기 해줍니다. 우리의 눈으로 볼 때 학교 운동장이나 책상 등은 모두 평평해 보입니다. 지금은 인공위성, 즉 지구 밖에서 찍은 지구의 모습을 통해 지구가 둥글다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 옛날 사람들은 지구 밖으로 나가지 않고 어떻게 지구가 둥글다는 것을 알 수 있었을까요. 지구가 둥글다는 것을 알려주는 증거로 가장 유명한 이야기는 배 이야기입니다. 배가 항구를 벗어나서 안 보이게 될 때 배의 아랫부분부터 사라진다는 것이죠.

■평면에서 곡면으로

지구가 둥글다는 것을 알기 전 옛날 사람들은 지구가 평평하기 때문에 평면에 도형을 그리고 이론을 정립하였습니다. 그것이 가장 오래된 수학분야인 기하학입니다. 평면에서의 기하학을 완성한 사람이 기원전 3세기에 살았던 고대 그리스의 수학자 유클리드입니다. 하지만 지구가 둥글기 때문에 새롭게 생겨난 수학 분야가 있습니다. 그것이 바로 비유클리드 기하학입니다. 비유클리드 기하학이라는 말은 수학의 황제라고 불리는 수학자 가우스(1777 ~ 1855?·독일)가 처음 사용했습니다. 비유클리드 기하학은 쌍곡선기하학, 타원기하학 등의 여러 기하학을 통틀어서 부르는 말입니다. 이들 기하학의 공통점은 유클리드 기하학의 다섯번째 공리인 '평행선은 만나지 않는다'를 부정한다는 것입니다. 우리 주위에는 유클리드 기하학으로는 설명할 수 없는 것들이 많습니다.

지구본을 예로 볼 수 있습니다. 지구본에는 위도와 경도를 표시한 위선과 경선(자오선)이 있습니다. 우리가 배우기에는 적도를 표시한 위선과 나머지 모든 경선들은 수직입니다. 실제로 적도에서 보면 수직이라고 보일 것입니다. 지구에 비해 인간은 굉장히 작기 때문에 적도 부근에서 보면 땅은 평평하고 위선과 경선은 수직이라 할 수 있습니다. 유클리드 기하학에서 경선들은 평행입니다. 평행선은 절대로 만날 수 없습니다. 그런데 경선들을 따라 가보면 북극과 남극에서 모든 경선들이 만나게 됩니다. 이것은 작은 부분에서는 평평한 평면으로 보이는 지구가 실제로는 둥글기 때문입니다. 이렇게 둥근 지구 위에 있는 도형들을 이해하고 설명하기 위해 비유클리드 기하학이 만들어진 것입니다.

■예술로 승화한 기하학의 세계

기하학의 원리는 예술작품에서도 사용되었습니다. 다빈치가 만든 아나몰포시스가 대표적인 예입니다. 그냥 봤을 때는 무슨 그림인지 알 수 없지만 원기둥에 반사되어 보이는 상을 보면 하나의 그림으로 볼 수 있게 해주는 독특한 미술 기법입니다. 만들기도 간단해서 중심이 같은 원들을 여러 개 그려놓고 몇 개의 반지름을 그린 다음 중심에 반사가 잘 되는 원기둥을 두고 비춰서 보면 여러 방향으로 퍼져 나가던 원의 반지름들이 반듯하게 평행한 모습으로 보이게 되는 것입니다. 우리가 쉽게 만들 수 있는 것들을 잘 조합하면 지구 위에 그려지는 도형들을 설명하기 위해 발전한 수학을 조금이나마 엿볼 수 있습니다.

김영진 부산과학기술협의회 연구원