뫼비우스의 띠

종이띠 두 개가 있습니다. 하나는 양쪽을 그대로 이어 동그랗게 만들고 나머지 하나는 한 번 꼬아서 양끝을 붙여 만들어 봅시다. 그리고 두 개의 종이띠 사이에 어떤 차이점이 있는지 살펴봅시다.

■차원을 넘어서다

단순히 양끝을 이어 만든 종이띠와 한 번 꼬아서 만든 종이띠에는 어떤 차이점이 있을까요. 일반적인 종이띠는 중심에 선을 그었을 때 한 면에만 그을 수 있습니다. 그러나 한 번 꼬아 만든 종이띠는 모든 면을 지나 처음 시작한 지점까지 연결됩니다.

한 번 꼬아서 만든 종이띠는 일반적인 종이띠와는 달리 겉과 속을 구분할 수 없습니다. 이를 '뫼비우스의 띠'라고 합니다. '뫼비우스의 띠'는 수학자 아우구스트 뫼비우스(1797~1868·독일)가 만든 것으로, 차원의 특징을 설명할 때 자주 사용합니다.

차원이란 어떤 위치를 수학적으로 표시하는 데 필요한 실수의 개수를 말합니다. 점은 그 자체로 위치를 나타내기 때문에 0차원입니다. 직선이나 곡선은 1차원입니다. 위치를 표시할 때 중심에서 얼마나 떨어져 있는지 숫자 하나만 있으면 됩니다. 평면은 2차원입니다. 사각형이 바로 평면입니다. 평면 위에서 위치를 표시하려면 가로축과 세로축에서 각각 떨어진 거리, 즉 숫자 두 개가 필요합니다. 입체는 3차원입니다. 주사위가 입체입니다. 입체에서 어떤 위치를 표시하려면 가로축과 세로축에서 떨어진 거리에 더해 높이까지 숫자 세 개가 필요합니다.

그런데 '뫼비우스의 띠'는 면(종이띠)이 하나인데도 같은 2차원인 평면에서는 만들 수 없습니다. 3차원에서만 표시할 수 있습니다. 그렇다면 '뫼비우스의 띠'가 평면인 것을 어떻게 확인해 볼 수 있을 까요. '뫼비우스의 띠'를 한 쪽 부분부터 색칠해 봅시다. 계속 칠하다 보면 선을 그었던 것처럼 처음 칠했던 부분까지 모든 부분이 칠해집니다. 이것은 평면인 A4 용지 전체를 칠하는 것과 같습니다. 이처럼 '뫼비우스의 띠'는 평면의 성질을 가지고 있지만 평면에서는 표현할 수 없습니다. 즉 2차원 도형(평면도형)이지만 3차원 도형(입체도형)처럼 만들어지는 것이지요.

■입체 '뫼비우스의 띠', 클라인병

'뫼비우스의 띠'처럼 3차원이면서 3차원에서는 표현할 수 없는 도형이 있습니다. 그 도형은 클라인병이라고 합니다. 수학자 클라인(1849~1925·독일)이 '뫼비우스의 띠'에서 힌트를 얻어 만든 것입니다. 파이프를 한 번 꼬아서 중간에 구멍을 낸 다음 파이프의 양끝을 이으면 클라인병이 완성됩니다. 클라인병은 항아리에 물을 붓더라도 그대로 빠져 나가는 것이 특징입니다.

'뫼비우스의 띠'의 특징은 한 가지 더 있습니다. 띠의 가운데에 그은 선을 그대로 자르면 네 번 꼬아 만든 종이띠와 똑같이 됩니다. 이렇듯 '뫼비우스의 띠'는 우리의 고정관념을 깨뜨리면서도 아주 간단한 실험으로 복잡한 이론을 설명해 주고 있습니다.

부산과기협 김태곤 연구원