2016학년도 대학입학전형 대비 1차 모의논술고사

의학계 채점기준 및 모범답안

[문항 1]

문항 1-1. 제시문 [나]의 수학적 귀납법을 사용하여 수열의 일반항을 구하는 문제로, 수학적 귀납법을 정의대로 정확히 적용하는 능력을 평가하고, 수열의 일반항을 계산하는 데 필요한 기초적인 계산능력을 평가한다.

문항 1-2. 무한수열의 일반항을 구하는 문제로, 구하는 방법에 대한 이해와 계산능력을 평가한다.

문항 1-3. 제시문 [다]에 주어진 방법대로 이미 수렴 또는 발산을 알고 있는 무한급수를 이용하여 주어진 무한급수의 수렴 또는 발산을 판정하고, 수렴하는 경우에 극한을 구하는 문제이다. 직접 극한을 구할 수 있으나, 제시문의 방법대로 잘 알고 있는 무한급수를 가져와서 적용하는 능력을 중요한 요소로 평가하는 문제이다.

문항 1 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
1-1	적용력	수학적 귀납법의 적용능력	중하	10	수학	집합과 논리
1-2	계산력	수열의 극한에 관한 이해력	하	5	수학	수열과 급수
1-2	적용력, 계산력	무한급수의 합 계산능력 주어진 지식의 활용능력	상하	15	수학	수열과 급수

[문항 2]

문항 2-1. 삼각형의 내심의 좌표를 구하는 문제로, 내접원의 반지름을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 법과 직선과 점 사이의 거리를 구하는 법에 관한 지식을 판단하고 이를 적용하는 능력을 평가한다.

문항 2-2. 내접원의 넓이가 최대가 될 때의 삼각형의 모양을 구하는 문제로, 내접원의 반지름이 최대일 때의 문제로 바꾸어 생각하는 능력을 판단하고, 함수의 미분에 의한 극점을 찾는 방법으로 문제를 해결하는 능력을 평가한다.

문항 2 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
2-1	이해력, 적용력	도형과 벡터에 관한 이해력	중	15	수학	도형, 벡터
2-2	창의력, 이해력, 적용력	도형, 함수의 최대·최소에 관한 이해력과 창의적인 기법	상	15	수학	도형, 벡터, 함수

[문항 3]

문항 3-1. 행렬의 곱에 대하여 닫혀 있는 유한집합에 들어갈 수 있는 행렬의 행렬식의 값을 구하는 문제로, 집합과 연산에 관한 정확한 개념을 가지고 조건에 합당한 행렬의 성질들을 찾아내는 능력을 평가한다.

문항 3-2. 위에서 찾은 값을 가지는 행렬식을 찾아내는 문제로, 원소에 관한 기술로 주어지는 집합의 원소에 관한 정확한 이해력을 바탕으로 행렬식의 값으로부터 얻어지는 성질을 이용하는 능력을 살펴보고, 그 과정에서 필요한 부등식의 계산능력도 평가한다.

문항 1-3. 3-2에서 구한 행렬들을 원소로 가지는 집합 가운데서 닫혀있는 집합을 찾는 문제로, 다양한 창의적인 기법을 평가한다.

문항 3 평가기준

문항	평가영역	평가내용	난이도	배점	출제영역
					교과목	교과서 개념
3-1	이해력, 적용력	집합과 연산, 행렬계산능력	상하	15	수학	집합, 행렬
3-2	적용력, 계산력	부등식계산 및 적용능력	중	10	수학	행렬, 부등식
3-3	창의력, 이해력	집합과 정확한 이해력과 적용력 집합의 창의적인 조작능력	상	15	수학	집합, 행렬

모범답안 및 세부 채점기준  (의학계)

【문항 1】

1-1. (10점) [eqn: a_{ n}`=` LEFT { { 1} over {2}n(n+1) } RIGHT }^2]이므로 [eqn: ` LEFT { { 1} over { 2}n(n+1) RIGHT }^2` =1^3`+`2^3`+`3^3`+` CDOTS`+n^3] 임을 제시문 [나]의 수학적

귀납법을 이용하여 밝히면 된다.

i) [eqn: n=1] 일 떼, 분명히 (좌변)[eqn: =`1`]=(우변) 으로 성립한다                                         (2점)

ii) [eqn: n=k`]일 때, 성립한다고 가정하면                                                            (2점)

[eqn: 1 ^{3} `+`2 ^{3} `+` CDOTS `+k ^{3} `+(k+1) ^{3} `=` LEFT { {1} over {2} k(k+1) RIGHT } ^{2} ``+(k+1) ^{3}] [eqn: =` { 1} over { 4}(k+1) ^2` LEFT { k^2`+4(k+1) RIGHT } `]

[eqn: =` LEFT { { 1} over { 2}(k+1)(k+2) RIGHT }^2`][eqn: =` LEFT { {1} over {2} (k+1)((k+1)+1) RIGHT } ^{2} `=a _{n+1}] 이므로 [eqn: n=k+1`]일 때에도 성립한다.

(4점)

제시문 [나]의 수학적귀납법에 의하여 [eqn: ````a _{n} `=`1 ^{3} `+`2 ^{3} `+`3 ^{3} `+` CDOTS `+k ^{3} `=` LEFT { {1} over {2} k(k+1) RIGHT } ^{2} `] 가 성립한다.

(2점)

1-2. (5점) 일반항 [eqn: b_n]은 1-1 에 의하여 [eqn: b_{n} `=` {c _{1} +c _{2} +c _{3} +` CDOTS `+c _{n}} over {1 ^{3} `+`2 ^{3} `+`3 ^{3} `+` CDOTS `+n ^{3}} `=` {1+6+10+14+` CDOTS `+(제n항)} over {LEFT ( 1+2+3+ CDOTS+n RIGHT ) ^{2}} `] 이다.

[eqn: 1+6+10+ CDOTS +(4n-2)=2+6+10+ CDOTS +(4n-2)-1][eqn: =`2n^2`-1] 이고                         (1점)

[eqn: {LEFT ( 1+2+3+ CDOTS+n RIGHT ) ^{2}} `][eqn: = LEFT { {1} over {2} n(n+1) RIGHT } ^{2} `=`` {1} over {4} n(n+1) ^{2}]이므로   [eqn: b_{n} `=` {4(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `] 이다.             (1점)

그러므로

[eqn: lim _{ n->inf} { n^2`b_{ n} }`=`][eqn: lim _{ n->inf} { {4n^2`(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `][eqn: =lim _{ n->inf} { {4(2n^2`-1)} over { (n+1) ^{2}} `] = 8 이고,                                    (2점)

[eqn: LEFT { n ^{2} b _{n} RIGHT } `]은 8에 수렴한다.                                                                         (1점)

1-3. (15점) 제시문 [나]에서 이미 수렴함을 알고 있는 무한급수[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]의 일반항으로

[eqn: b _{n} `=` {8} over {n(n+1)} `]을 선택하면                                                                     (3점)

[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`][eqn: =`sum _{n=1 } ^{ INF }` { 8} over {n(n+1)} `][eqn: `=` lim _{n -> INF } {```} 8 sum _{k=1} ^{n} {1} over {k` LEFT ( k+1 RIGHT )} `][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} `8 sum _{k=1} ^{n} LEFT { {1} over {k} - {1} over {(k+1)} RIGHT }]

[eqn: `=` lim _{n -> INF } {```} 8 LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n} - {1} over {(n+1)} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: `=` lim _{n -> INF } {``} 8 LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )] [eqn: =`8] 이다.                                                    (3점)

한편 주어진 무한급수의 일반항은 [eqn: a_{n} `=` {4(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `] 이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 0 le a_n `=` {4(2n^2`-1)} over {LEFT {n(n+1) RIGHT } ^{2}} `le` {8n^2`} over {n^2 (n+1)^{2}}`=` {8} over {(n+1)^{2}} `le` {8} over {n (n+1)}`=` b_n]

이므로 제시문 [다]에 의하여 무한급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`]은 수렴한다.                                       (4점)

<주의> 비교대상의 수렴하는 무한급수[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`b _{ n}`]은 다양하게 나타날 수 있음.

이제 그 합을 구해보면  [eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`][eqn: =` lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } {4(2k^2`-1)} over {LEFT {k(k+1) RIGHT } ^{2}} `]이므로, 각 항을 부분분수로 고치기 위하여

[eqn: {4(2k ^{2} `-1)} over {LEFT { k(k+1) RIGHT } ^{2}} `=4 LEFT { {ak+b} over {k ^{2}} - {ck+d} over {(k+1) ^{2}} RIGHT }] 라 두고 [eqn: a,``b,``c,``d`]를 구하면 [eqn: a=`2,````b`=`-1,````c=`2,````d=1`]이다.

따라서 무한급수의 부분합은

[eqn: S _{n} `=` sum _{ k=1} ^{n } {4(2k^2`-1)} over {LEFT {k(k+1) RIGHT } ^{2}} `][eqn: =` sum _{ k=1} ^{n } `4 LEFT { { 2k-1} over {k^2} - {2k+1} over {(k+1)^2 } RIGHT }] [eqn: =`4 LEFT { 1 - {2n+1} over {(n+1)^2 } RIGHT }][eqn: =`LEFT { { 2n} over {(n+1) } RIGHT }^2]

이고, 무한급수의 합은

[eqn: sum _{n=1 } ^{ INF }`a _{ n}`][eqn: =` lim _{ n->inf} { S _{ n} }`][eqn: =` lim _{ n->inf} { LEFT { { 2n} over {(n+1) } RIGHT }^2][eqn: =`4] 이다.                                             (5점)

【문항 2】

2-1. (15점) [eqn: TRIANGLE ABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면, [eqn: S``=` {1} over {2} ` {bar{AB``}} ` TIMES ` {bar{CH``}}]이고, 또 [eqn: S`=` {1} over {2} `r(a+b+c)] 이므로

[eqn: S= {1} over {2} (p+2p)q= {1} over {2} r(a+b+c)], 즉 [eqn: {3} over {2} pq`= {3} over {2} r] 이 성립한다. 따라서, [eqn: r=pq] 이다.               (5점)

편의상 [eqn: H]의 좌표를 [eqn: (0,0)]이라 두면 점[eqn: A],[eqn: C],[eqn: O]의 좌표는 각각 [eqn: (-p,`0),``(0,`q),`(d,r)] 이다.

그러면 직선 [eqn: {dyad{AC}} ``]의 방정식은 [eqn: y= {q} over {p} x+q`]이므로  [eqn: `qx-py+pq=0] 가 성립한다.

점 [eqn: O(d,r)]와 이 직선 사이의 거리는 공식에 의하여 [eqn: r= {qd-pr+pq} over {sqrt {p ^{2} +q ^{2}}} `]이다                           (6점)

(※ 점 [eqn: O(d,r)]는 이 직선의 아래에 있으므로 [eqn: r`< {q} over {p} d`+`q] 이다. 즉 [eqn: qd-pr`+pq>0] 이다).

그러므로 [eqn: ```d= {r sqrt {p ^{2} +q ^{2} `} +pr-pq} over {q} ` == {pq sqrt {p ^{2} +q ^{2} `} +p ^{2} q-pq} over {q} `=`p(p+ sqrt {p ^{2} +q ^{2}} -1)``]이다.        (4점)

(다른 풀이) 점[eqn: O]와 직선 [eqn: {dyad{BC}} ``]사이의 거리가 [eqn: r]이라는 사실로부터 위와 같은 과정을 거쳐

[eqn: d=(2-2p- sqrt {4p ^{2} +q} )]을 구할 수도 있다.

([eqn: r=pq] 이므로 [eqn: d=p(p+ sqrt {p ^{2} +q ^{2}} -1)=p(2-2p- sqrt {4p ^{2} +q} )] 이다.)

2-2. (15점) 내접하는 원의 넓이 [eqn: pi`r ^{2}]가 최대가 되는 경우는 [eqn: r]이 최대가 될 때이다. [eqn: m= {q} over {p}]이라 두자.

조건 [eqn: 3=a+b+c]에 의하여 [eqn: 3=3p+ sqrt {p ^{2} +q ^{2}} + sqrt {4p ^{2} +q ^{2}}]이다. 따라서

[eqn: {3} over {p} =3+ sqrt {1+( {q} over {p} ) ^{2}} + sqrt {4+( {q} over {p} ) ^{2}} =3+ sqrt {1+m ^{2}} + sqrt {4+m ^{2}}],

즉,  [eqn: p=` {3} over {3+ sqrt {1+m ^{2}} + sqrt {4+m ^{2}}}] 이다.

따라서, [eqn: r=pq=p ^{2} {q} over {p} =m LEFT ( {3} over {3+ sqrt {1+m ^{2}} + sqrt {4+m ^{2}}} RIGHT ) ^{2}] 이다.                                     (5점)

[eqn: r]이 최대가 되려면 [eqn: sqrt { r}]이 최대가 되어야 한다. [eqn: m]은 양수이므로 편의상 [eqn: m=t^2]이라 두면

[eqn: sqrt {r} = {3t} over {3+ sqrt {1+t ^{4}} + sqrt {4+t ^{4}}}]이다. 함수 [eqn: f(t)= {t} over {3+ sqrt {1+t ^{4}} + sqrt {4+t ^{4}}}]라 두고 증가, 감소를 살피자.

함수 [eqn: f(t)]를 미분하면

[eqn: f` prime (t)= {1(3+ sqrt {1+t ^{4}} + sqrt {4+t ^{4}} )-t LEFT ( 0+ {4t ^{3}} over {2 sqrt {1+t ^{4}}} + {4t ^{3}} over {2 sqrt {4+t ^{4}}} RIGHT )} over {(3+ sqrt {1+t ^{4}} + sqrt {4+t ^{4} ) ^{2}}}# ``````````````= {3+ sqrt {1+t ^{4}} - {2t ^{4}} over {sqrt {1+t ^{4}}} + sqrt {4+t ^{4}} - {2t ^{4}} over {sqrt {4+t ^{4}}}} over {(3+ sqrt {1+t ^{4}} + sqrt {4+t ^{4} ) ^{2}}} ```=`` {3+ {1-t ^{4}} over {sqrt {1+t ^{4}}} + {4-t ^{4}} over {sqrt {4+t ^{4}}}} over {(3+ sqrt {1+t ^{4}} + sqrt {4+t ^{4} ) ^{2}}} ``]

그러므로 [eqn: 0<`t<1]에서 함수 [eqn: f`'(t)`>0] 이고 따라서 [eqn: f`(t)] 는 증가함수이다.

따라서 [eqn: 0<`t<1]이면 [eqn: f(t)`<`f(1)]이다.                                                         (6점)

또한, [eqn: f` prime (1) != 0]이므로 함수 [eqn: t=1]은 [eqn: f(t)`]의 극대점이 아니다. 그러므로, 그러므로 [eqn: t LEQ 1] 이면 극대점이 아니다.

따라서, [eqn: m= {q} over {p} LEQ 1] 일 때, [eqn: f(t)`]는 최대값을 가지지 않는다.

따라서, 이 경우에 내접원의 반지름이나 내접원의 넓이는

최대가 아니다. 그러므로, 내접하는 원의 넓이가 최대이면 [eqn: m`>`1`], 즉 [eqn: q`>p]이다.                   (4점)

【문항 3】

3-1. (15점)  [eqn: S]를 유한닫힌집합이라 하자. [eqn: A IN S]이면 조건 (1)에 의하여 [eqn: A,A ^{2} ,`A ^{3} ,...,`A ^{n} ,...` IN S]이다.

[eqn: |A ^{n}|=|A| ^{ n}] 이고 [eqn: S] 가 유한집합이므로 [eqn: LEFT { ```|A|,``|A| ^{2} ,``|A| ^{3} ,``|A| ^{4} ,`... RIGHT } `]는 정수들의 유한집합이다.        (6점)

그러므로 [eqn: |A|` IN LEFT { 0,1,-1 RIGHT }] 이다.                                                                 (2점)

그리고 [eqn: A IN S SUBSETEQ `M] 이므로 [eqn: A= LEFT ( {matrix{a&-b#b&a-b}} RIGHT )]라고 나타낼 수 있다.                                    (1점)

그런데, [eqn: |A|=a ^{2} -ab+b ^{2} ``=`(a- {b} over {2} ) ^{2} `+ {3} over {4} b ^{2} ` GEQ `0] 이므로 [eqn: |A|` IN LEFT { 0,1 RIGHT } ``]이다.                      (4점)

역으로  [eqn: LEFT { LEFT ( {matrix{0&0#0&0}} RIGHT ) , LEFT ( {matrix{1&0#0&1}} RIGHT ) RIGHT }]는 (1)와 (2)를 만족하는 [eqn: M]의 부분집합이므로 답은 [eqn: LEFT { 0,1 RIGHT }] 이다.              (2점)

3-2. (10점) [eqn: A= LEFT ( {matrix{a&-b#b&a-b}} RIGHT )] 모양의 행렬로서 [eqn: |A|`=a ^{2} -ab+b ^{2} IN LEFT { 0,1 RIGHT }] 인 행렬에 대해서

[eqn: 0 LEQ {3} over {4} a ^{2} ` LEQ (b- {a} over {2} ) ^{2} + {3} over {4} a ^{2} =a ^{2} -ab+b ^{2}]  과  [eqn: 0 LEQ {3} over {4} b ^{2} ` LEQ (a- {b} over {2} ) ^{2} + {3} over {4} b ^{2} =a ^{2} -ab+b ^{2}]     (3점)

을 성립시키는 [eqn: (a,b)]는 [eqn: LEFT { (0,0),(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,1),(-1,-1) RIGHT }] 의 원소 중의 하나이다. (2점)

그러므로 [eqn: A]는 [eqn: W``= LEFT { LEFT ( {matrix{0&0#0&0}} RIGHT ) , LEFT ( {matrix{1&0#0&1}} RIGHT ) , LEFT ( {matrix{0&-1#1&-1}} RIGHT ) , LEFT ( {matrix{-1&0#0&-1}} RIGHT ) , LEFT ( {matrix{0&1#-1&1}} RIGHT ) , LEFT ( {matrix{1&-1#1&0}} RIGHT ) , LEFT ( {matrix{-1&1#-1&0}} RIGHT ) RIGHT }]의 원소 중의 하나이다   (1점)

그런데, [eqn: O]는 영행렬, [eqn: I]는 단위행렬, [eqn: X= LEFT ( {matrix{0&1#-1&1}} RIGHT )] 이라고 하면, [eqn: W``= LEFT { O,I,X,X ^{2} ,X ^{3} ,X ^{4} ,X ^{5} RIGHT }] 가 된다.

[eqn: `X ^{6} =I] 이므로 [eqn: W] 는 유한닫힌집합이다.                                                        (3점)

따라서, [eqn: W] 의 각 원소는 유한닫힌집합의 원소이다.                                              (1점)

3-3. (15점) [eqn: X]에 대하여 [eqn: X ^{3} =-I,``X ^{4} =-X ^{2}, X ^{5} =-X,`X ^{6} =I] 가 성립한다.                        (4점)

[eqn: S]를 임의의 유한닫힌집합이라고 하면, 2-2에 의하여 [eqn: S`` SUBSETEQ W] 이다. 따라서, 아래의 사실을 알 수 있다.

(1) [eqn: I`` IN S] ([eqn: BECAUSE] [eqn: X ^{k} `` IN `S] 이면, [eqn: I``=I ^{k`} =``(X ^{6`} ) ^{k} `=`(X ^{k} ) ^{6} ``` IN `S].)

(2) [eqn: LEFT { I RIGHT } , LEFT { I,X,X ^{2} ,X ^{3} ,X ^{4} ,X ^{5} RIGHT }]는 조건 (가)와 (나)를 만족한다. ([eqn: BECAUSE] [eqn: X^{ 6}=I])

(3) [eqn: X IN S] 혹은 [eqn: X^{ 5} IN S]이면   [eqn: S= LEFT { I,X,X ^{2} ,X ^{3} ,X ^{4} ,X ^{5} RIGHT }]. ([eqn: BECAUSE][eqn: (X^{ 5}) ^{ 5}=X])

(4) [eqn: X ^{2} ,X ^{3} IN S] 혹은 [eqn: X ^{4},X ^{ 3} IN S]이면 [eqn: S= LEFT { I,X,X ^{2} ,X ^{3} ,X ^{4} ,X ^{5} RIGHT }].  ([eqn: BECAUSE][eqn: X ^{2} X ^{3} `=`X ^{5}], [eqn: X ^{4} X ^{3} `=`X]) (5점)

따라서, [eqn: O]를 포함하지 않는 유한부분집합은 [eqn: LEFT { I RIGHT } , LEFT { I,X ^{3} RIGHT } ,` LEFT { I,X ^{2} ,X ^{4} RIGHT } , LEFT { I,X,X ^{2} ,X ^{3} ,X ^{4} ,X ^{5} RIGHT }] 이다.   (4점)

이로부터, [eqn: O]를 포함하는 유한부분집합은 [eqn: LEFT { O RIGHT }, LEFT { O,I RIGHT } , LEFT { O,I,X ^{3} RIGHT } ,` LEFT { O,I,X ^{2} ,X ^{4} RIGHT } ,LEFT { O,I,X,X ^{2} ,X ^{3} ,X ^{4} ,X ^{5} RIGHT }] 이다.

그러므로, 유한부분집합은 위의 9개 뿐이다.                                                       (2점)