1642년 영국 동부 링컨셔에서는 현대 과학에 큰 영향을 끼친 과학자가 탄생했습니다. 물리학자이며 천문학자인 그는 근대 이론과학의 선구자이며 특히 과학을 수학으로 표현한 자연과학의 모범이 됐습니다. 미·적분법의 창시와 근대 역학의 체계를 마련한 그는 아이작 뉴턴입니다. 오늘은 뉴턴과 라이프니츠가 동시에 개발한 것으로 알려져 있는 미분과 적분에 대해 알아봅시다.
■이제는 육칙연산이다
정수와 자연수는 유한한 값으로 초등학교에서 배우는 사칙연산으로 계산할 수 있습니다. 하지만 0에 가까운 미소량과 같은 유한하지 않은 값에 대해서는 더하거나 빼기로 계산을 하기가 어렵죠. 특히 파이(π, 3.1415…)가 포함되어 있는 원이나 타원의 경우 둘레나 면적을 계산하기는 더더욱 어려워집니다.
이런 경우에 미분과 적분이 효과적으로 사용됩니다. 쪼개서 더하는 방법이지요. 물론 수학적으로 미분은 변수 x가 무한히 적은 변화를 가질 때의 기울기 등으로 표시하기도 하지만 가장 기본은 쪼개서 더하는 것입니다.
BC 3세기 유클리드나 아르키메데스는 미적분은 몰랐지만 쪼개서 더하는 방법으로 원의 넓이를 계산했지요. 이미 그들은 미적분의 개념은 알고 있었던 것이죠. 이제는 사칙연산을 육칙연산(미분, 적분을 포함)으로 불러도 되겠죠.
■미적분은 어디에 사용되나요
미분과 적분은 서로 상반되는 개념입니다. 미분은 쪼갠다는 의미이며, 적분은 합친다는 의미입니다. 사실 적분의 기본 개념은 넓이를 계산하는 것입니다. 특히 복잡한 구조를 가지는 타원이나 임의의 모양에 대한 넓이를 계산할 때 효과적입니다. 임의의 모양을 매우 작은 직사각형으로 쪼갠 후 다시 더하면 임의 모양의 넓이가 된다는 개념입니다. 넓이뿐만 아니라 기온의 변화, 인구의 증가, 자동차의 이동거리, 3차원 구조의 배나 비행기의 부피 등 변화하는 모든 것에 대해서 적용할 수 있습니다. 소리나 전기신호의 경우 미분을 하게 되면 바로 디지털 신호가 됩니다. 그렇다면 미분과 적분은 어디서 사용되고 있을까요. 사실 여러분은 항상 미분과 적분을 사용하고 있습니다. 휴대전화나 MP3 플레이어는 음악이나 목소리를 매우 작게 쪼개어(미분) 디지털화 시킨 후 전기신호로 전송을 합니다. 수신된 전기신호를 다시 더하여(적분)하여 여러분이 듣게 되는 것이죠. 얼마나 작게 쪼개느냐에 따라 음질의 차이가 납니다. 고품질의 소리일수록 용량이 커지게 되는 이유가 많은 양의 데이터를 처리해야하기 때문입니다. 요즘은 데이터의 압축기술(MP3)이 발달하고, 컴퓨터의 성능이 향상되어 이런 문제를 해결할 수 있습니다.
뉴턴이 만유인력의 법칙을 수학으로 표현하기 위해서 사용했던 미적분은 현대사회에서 지구 중력의 변화, 나로호가 우주로 날아가기 위한 운동방정식, 진동하는 기타줄의 움직임에 이르기까지 다양한 분야에 응용되고 있습니다.
부산과학기술협의회 김병인 전시연구팀장
