가장 빠른 길을 무엇이라고 부를까요? 지름길이라고 부릅니다. 사전적인 뜻으로, 지름길은 최단거리를 의미합니다. 자동차 네비게이션의 핵심이 바로 지름길을 찾아주는 것이죠. 자동차가 만들어지기 훨씬 전, 우리 선조들은 가장 빠른 지름길을 알고 있었다는 것을 아십니까. 최고의 수학자 중 한 사람인 르장드르가 뉴턴과 라이프니쯔를 시험하기 위해 공개한 수학문제도 바로 최단거리에 관한 문제였습니다.

■최소시간 강하곡선

사이클로이드는 직선 위에서 하나의 원이 미끄러지지 않고 굴러갈 때, 원의 한 점이 그리는 곡선을 말합니다. 사이클로이드 곡선이 가지는 비밀중 하나가 바로 최소시간 강하하는 곡선입니다. 경사면에 직선과 포물선, 사이클로이드와 원의 경로가 있을 경우 어느 면을 굴러내려 가는 공이 가장 빠르게 바닥까지 떨어질까요. 바로 사이클로이드 면을 따라서 움직일 때 가장 빠릅니다. 이유는 사이클로이드 면이 가장 크게 중력가속도를 받을 수 있기 때문이죠. 따라서 가장 빠른 속력의 증가가 생깁니다. 독수리가 공중에서 사냥을 위해 땅으로 내달릴 때도 사이클로이드 곡선을 그리며 낙하를 하고, 비가 올 때 기와 속으로 물이 스며들기 전에 바닥으로 떨어지도록 만들어놓은 처마도 사이클로이드 곡선을 그리고 있습니다.

■어디서나 같은 도착시간

사이클로이드는 또 다른 비밀을 가지고 있습니다. 바로 등시성입니다. 사이클로이드 곡선 위에 여러 개의 공을 높이가 서로 다르게 놓아봅시다. 동시에 굴리면 어떻게 될까요. 신기하게도 모든 공은 동시에 바닥에 도착합니다.

1583년 갈릴레이는 피사의 대성당에 있는 흔들리는 램프에서 등시성을 최초로 발견했습니다. 정확히 말하면 램프의 움직임이 사이클로이드 곡선은 아니지만 작은 진폭을 가질 때는 사이클로이드 곡선과 비슷하여 진자의 움직임에서도 등시성을 관찰할 수 있습니다. 그 뒤 진자의 주기는 무게와는 관계 없으며 진자의 길이에만 관계가 있기 때문에 호이겐스는 진자 시계를 고안하기도 하였습니다.

■또 다른 비밀들

사이클로이드는 '수학의 미인'이라는 별명을 가지고 있습니다. 그만큼 많은 규칙성과 수학적 매력을 가지고 있다는 뜻이죠. 등시성과 최단 강하 이외에도 재미있는 비밀을 가지고 있습니다. 한 사이클의 사이클로이드의 길이는 굴러가는 원의 반지름의 8배가 된다는 사실, 그리고 한 사이클의 사이클로이드의 면적은 원의 면적의 3배가 됩니다.

사이클로이드는 자, 동그란 종이, 연필만 있으면 그릴 수 있습니다. 한번 그려보세요. 흥미진진한 수학의 세계를 만날 수 있습니다.

부산과학기술협의회 김병인 박사